Dantzig, Tobias: Number–The Language of Science

Tobias Dantzig 的书 Number_ The Language of Science。 GGB 选了前两章,第一章 Fingerprints 要有趣得多,第二章 The Empty Column 谈 “零” 的出现。

 Fingerprints

I.  Number Sense

数字的感觉 (Number Sense) —— 不是数数 (Counting);  Counting 是更高级复杂的过程,唯人类拥有。

 

很多鸟类、昆虫有数字的感觉, 而这种感觉却没有在狗、马、及其他家畜中发现。

一个很好玩的例子:一只乌鸦在水塔里筑了巢,每天在附近的树上观望,等守塔人离开后才回去。守塔人的小测试,两个人进水塔,一个人先离开,乌鸦也不回去,要等第二个人离开。三个人、四个人,乌鸦都可以知道,直到五个人——乌鸦在第四个人出来后就飞回去了—— 乌鸦可以分辨4, 却不能分辨5.  (只是这个例子好像有些数数的意思了,已不是单纯凭视觉的数字感觉)。

即使是文明人,单凭视觉对数的感觉,也很少有超过4的。

 

从具体到抽象——原始人从异构的具体的数字概念,进入单一的抽象的数字的概念—— 使数学成为可能。

 

很多原始人的数字技术来自于 a matching or tallying ( 匹配与清点 ?) 。他们用在树上砍坎(notches cut in a tree)或成堆的鹅卵石 (pebbles gathered in a pile)来记录他们的牛群与军队。

词源学 (etymology) 证据:

  the words tally and calculate: the first comes from the Latin talea, cutting, and the second from the Latin calculus, pebble.

II. Cardinal number and Ordinal number

基数词(cardinal number) 是按对应的原则,不可数;而序数词 (ordinal number)是连续的原则。

Correspondence and succession, the two principles which permeate all mathematics— nay, all realms of exact thought—are woven into the very fabric of our number system.

 

用掰指头表示数字的时候,直接出示四个指头,用的是 cardinal model;而一个一个指头数到的四,则是 ordinal system。

在原始语言的研究中,两种数字形式总是同时出现,并未发现有先后之别。

III. 数字与手指头

大多数原始语言中,数字5是多用“手”来表示。而且,但凡涉及到数数的技术,总是首先用手指头来数。 有理由推断,如果没有手指头, 我们的物质与精神的进步会有多绝望的落后。( 呵呵… )

 

IV. 数字的年龄与十进制

数字的起源具体年代已不可知,但毫无疑问,会早于书写几千年。

 

除了5的意义之外,其他数字的原始意义已丢失。 而数字词汇本身的应用却很稳定。

数字的语言结构中,存在很普遍的同一性—— 人的十个指头的永久印记。 十进制的广泛使用,在所有印欧语系、闪米特语系、蒙古语系,以及很多原始语言中,都在使用独立的数字到十进位,尽管也有五进制或二十进制——有人数数连脚趾头,如玛雅人。

 

对于五进制的数数,绝大多数用左手,猜测因为右手人的右手要拿东西。

原始语言中亦有二进制存在。

 

从历史文化的角度,无论有多少弊处,因着十个指头的存在,十进制的改变都不大可能。只要人们还在数着十,十个手指将就会一直提醒着人们,这是人类精神生活的重要的起源。(真的么?除了作者,谁会想到呢??)

Man is the measure of all things.

(GGB Vol. 9, pp. 165-177; Chapter 1)

 The Empty Column 

最早the Empty Column (空位?) 或“零” 的概念出现于印度。

The Indian term for zero was sunya, which meant  empty or blank, but had no connotation of “void” of “nothing.”

 

公元十世纪阿拉伯人采用印度的数字系统。

 

在人类文化历史上,“零” 的发现是人类最重要的发现之一。这一伟大的发现,不是辛苦研究的回馈,而是来自偶然。( hehe…)

A great discovery! Yes, but, like so many other early discoveries, which have profoundly affected the life of the race, — not the reward of painstaking research, but a gift from blind chance.

(GGB Vol. 9, pp. 178-189; Chapter 2)

***

从图书馆借到书了,后边的章节也在翻一下,多是纯数学的东西。

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Kasner and Newman: New Names for Old

I

数学词汇

纵观历史,数学词汇古今大致通用。

Here is a booby-prize definition of mathematics: Mathematics is the science which uses easy words for hard ideas.

II

数学中的普通词汇,有着特有的含义。如:Simple curve。


A simple curve is a closed curve which does not cross itself.

A French mathematician, Jordan, gave the fundamental theorem: every simple curve has one inside and one outside. That is, every simple curve divides the plane into two regions, one inside the curve, and one outside.

  This is not a simple curve.

 This is a single curve.

其它几个数学词汇的例子: function, turbine, circle, parhexagon, and radical, etc.

III

数学概念中天文数字 googol 与 googolplex 的意义。 这些数字 was finite, not infinite.

有趣的是:

The name “googol” was invented by a child (Dr. Kasner’s nine-year-old nephew) who was asked to think up a name for a very big number, namely, 1 with a hundred zeros after it.

IV

数学中的新名词, 如 mathescope,

The mathescope is not a physical instrument; it is a purely intellectual instrument, the ever-increasing insight which mathematics gives into the fairyland which lies beyond intuition and beyond imagination.

***

简单有趣的文章,希望有机会读全本。

 (GGB, Vol. 9, pp. 121-136; originally chapter 1 of Mathematics and the Imagination)

Hogben, Lancelot: Mathematics, the Mirror of Civilization

数学,人类文明的镜子

I

人类文明早期,数学与神学关系密切。最早的掌握数学的是神职人员,如埃及的神职人员可测量尼罗河的涨落,他们在普通人面前使用不同的“语言”以隐藏真相。

早期的普通人不能读写。普通的语言可看作是“种类语言”(sort language)。宗教改革后建立语法学校,人们可以阅读《圣经》。

现代社会的人必需学会“测量语言”(language of measurement) 才能理解现代科学中的“圣经”。 今天的人们的快乐生活依赖于正确解释公开的统计数据。

To-day the lives and happiness of people depend more than most of us realize upon the correct interpretation of public statistics which are kept by government offices.

时代在变,数字更多地进入人们的日常生活,size language 演化。人们受圉于社会遗产。

The most brilliant intellect is a prisoner within its own social inheritance.

举例 Achiles and tortoise,  从历史的角度引入极限的分数小数,进一步说明数学家也不能脱离现实社会。

Beyond a certain point clever people can never transcend the limitations of the social culture they inherit.

II

数学如语言一样是工具。

Tyranny has no enemy so formidable as the pen.

To-day economic tyranny has no more powerful friend than the calculating prodigy.

然而,数学在历史上解放人类的作用常常被忽视。

教育系统的建立,削弱了教皇的地位。

数学语言在商业的应用。

几何学起初为有闲阶层的游戏。

柏拉图教育观物质观使数学更神秘。

III

本书从社会进化的角度来谈数学,而非其他书着重于习题

两种看待数学的观点:

柏拉图:数学代表永恒的真理 (Mathematical statements represent eternal truths)。

另一观点:   数学是有关大小的语言(Mathematics is the language of size, and that is an essential part of the equipment of an intelligent citizen to understand this language. )

数学语言的特点: The language of size have no place for private sentiment, either of the individual or of the nation.

IV

数学的发展很慢。数学的历史就是文明史的镜子。

The history of mathematics is the mirror of civilization.

 (GGB, Vol. 9, pp. 3-23; originally Chapter 1 of Mathematics for the Million)